Inleiding Een kromme waarvan de poolvergelijking gegeven wordt
door r = aeb,
waarin r de afstand tot de oorsprong,
de hoek met de positieve x-as en a en b
willekeurige constanten noemen we een logaritmische spiraal. Zie
figuur 1.
De logaritmische
spiraal werd voor het eerst bestudeerd door Descartes
in 1638. Jakob
Bernoulli. was zo gefascineerd door de spiraal dat hij er een
op zijn grafsteen liet graveren.
De
parametervoorstelling van een logaritmische spiraal heeft de
volgende vorm:
De logaritmische
spiraal heeft een aantal bijzondere eigenschappen die in het
onderstaande voorbeeld naar voren komen. Ga het voorbeeld met het
online programma na. Onderaan deze webpagina staan een aantal opgaven
die je met dit programma kunt oplossen. Voordat je aan de slag
gaat kun je, als je dat nog niet gedaan hebt, desgewenst de
volgende onderwerpen doornemen:
Bij "Parameterkrommen op
Internet" moet je in afwijking van "Functies en
Grafieken op Internet" voor de variabele (parameter)
i.p.v. de letter x de letter t gebruiken.
Dit omdat bij parameterkrommen de variabele vaak de tijd t
is.
Voorbeeld Een punt P doorloopt een logaritmische spiraal
gegeven door de parametervoorstelling:
x(t)
= e0.2tcos(t) y(t) = e0.2tsin(t)
voor -4t
4
K:
Hierin zijn x
en y in cm en is t in seconden.
Plot m.b.v.
onderstaand programma de spiraal. Welk kijkvenster heb je
genomen om de hele baan in beeld te krijgen?
Geef de
poolvergelijking van de spiraal.
De lijn l
gaat door de oorsprong met een richtingshoek van -1
rad en snijdt de spiraal in een achttal punten.
Stel een
parametervoorstelling van de lijn l op en plot de lijn
samen met de spiraal.
Bepaal m.b.v.
het programma de coördinaten van de punten waar de lijn l
de spiraal snijdt in twee decimalen nauwkeurig. Bepaal hierbij
de waarden van de parameter t zoals die voor de spiraal
gelden. Geef de resultaten weer in een tabel.
Geef de
richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de kromme in die
punten. Wat valt je op? Geldt dit voor elke lijn door de
oorsprong?
Onder welke
hoek snijdt de lijn l de spiraal in de snijpunten.
Geef de
formule voor de snelheidsfunctie v(t)
Geef de
formule voor de lengte van de baan L(t) voor -4t
4
We gaan dit
voorbeeld oplossen m.b.v. onderstaand programma.Voer de gegevens
handmatig of met een klik op de
in.
Tekst
en uitleg
Om een
geschikt kijkvenster te bepalen is het voldoende een paar keer
t.o.v. de oorsprong uit te zoomen, net zo lang tot de hele
kromme in beeld is. Neem als uitzoomfactor 2. Uitzoomen doe je
door rechtsklikken op de oorsprong, of zo je wilt op een ander
punt.
Er geldt
volgens de stelling van Pythagoras
r2
= x2 + y2
= e0.2tcos2(t)
+ e0.2tsin2(t)
= e0.2t(cos2(t)
+ sin2(t))
= e0.2t(
1 )
= e0.2t
Daaruit
volgt: r = e0.2t
= e0.1t. Voor de hoek
met de positieve x-as geldt
= t.
De poolvergelijking van de spiraal is dus r = e0.1.
De lijn l
gaat door de oorsprong met een richtingshoek van -1
rad. De richtingscoëfficiënt van de lijn l is tan(-1).
De vergelijking van de lijn l is dan y = x tan(-1).
Stel nu x = t dan wordt y = t tan(-1).
Dus de parametervoorstelling van l wordt dus:
x(t)
= t y(t) = t tan(-1)
l:
Voer deze
gegevens in het programma voor de kromme K-2 handmatig of met
een klik op de
in.
De lijn l
snijdt de kromme in punten P waarvan de lijn OP
een richtingshoek met de positieve x-as van
= -1 + k
rad maakt, waarbij k een geheel getal is. Voer voor de
parameter t de waarde -1
en voor de stapgrootte st de waarde
(computernotatie pi) in. Varieer de waarde van t
stapsgewijs voor de spiraal (kromme K-1). Vink de x(t)-haarlijn,
de y(t)-haarlijn en de radius (is de lijn OP)
aan om het snijpunt te markeren. In onderstaande tabel zie je
de resultaten per kwadrant.
K-1
Vierde
Kwadrant
Tweede
Kwadrant
t
sec
-1+4
-1+2
-1
-1-2
-1+3
-1+
-1-
-1-3
x(t)
5.46
1.55
0.44
0.13
-2.91
-0.83
-0.24
-0.07
y(t)
-8.51
-2.42
-0.69
-0.20
4.54
1.29
0.37
0.10
Voer voor de
parameter t de waarde -1
en voor de stapgrootte st de waarde
(computernotatie pi) in. Varieer de waarde van t
stapsgewijs voor de spiraal (kromme K-1). Vink de raaklijn,
de x(t)-haarlijn, de y(t)-haarlijn
en de radius (is de lijn OP) aan om het snijpunt te
markeren en de raaklijn te plotten. In alle gevallen blijkt de
raaklijn dezelfde helling te hebben. De helling
= 0.391781. Dit blijkt voor elke lijn door de oorsprong te
gelden. Dit is een bijzondere eigenschap van de
logaritmische spiraal. Om dit theoretisch aan te tonen hoeven
we alleen maar te bewijzen dat
een periodieke functie van t is met periode .
In het algemeen geldt voor de parametervoorstelling van een
logaritmische spiraal :
Zie
hiervoor de regels voor het differentiëren van samengestelde
functies. Verder geldt voor de richtingscoëfficiënt van de
raaklijn in een punt van de spiraal:
=
=
=
De functie tan(t) is periodiek met periode
en dus is
ook periodiek met periode .
Hetgeen te bewijzen viel!
De
richtingscoëfficiënt van de raaklijn is
= 0.391781 = tan().
Waarin
de richtingshoek van de raaklijn is. Daaruit volgt
= arctan(0.391781) =
21.39°. De richtingshoek van de lijn l is -1
rad = -57.30°.
De hoek waaronder de lijn l de spiraal snijdt is dus
21.39° + 57.30° = 78.69°.
De snelheid
op tijdstip t in een punt A van de spiraal kan
volgens de stelling van Pythagoras berekend worden met de
formule v(tA) = [{x'(tA)}2
+ {x'(tA)}2]. We
weten uit onderdeel e. dat voor a = 1 en b = 0.2
dat
Een punt P
doorloopt een logaritmische spiraal K met
parametervoorstelling:
x(t)
= e0.1tcos(t)
y(t) = e0.1tsin(t)
voor 0t
8
K:
Hierin zijn x
en y in cm en is t in seconden.
Plot de baan in een geschikt
kijkvenster.
Bepaal de snelheidsfunctie v(t)
Geef de formule voor de
lengte van de baan L(t) voor 0t
8
Bepaal op welk tijdstip t
de lengte van de baan 10 cm is.
De baan van een punt P is
gegeven door de parametervoorstelling
x(t)
= 2tcos(t)
y(t) = 2tsin(t)
voor 0t
2
K:
Hierin zijn x
en y in cm en is t in seconden.
Plot de baan in een geschikt
kijkvenster.
De baan snijdt de negatieve y-as
in het punt A.
Bepaal in twee decimalen de snelheid in A.
Bereken in twee decimalen de
lengte L van de baan.
Wiskunde online ----- is speciaal ontworpen voor:
Microsoft
Internet Explorer 5.5 of hoger
Beeldschermresolutie minimaal 800×600
JavaScript-Interpretatie ingeschakeld!
Bijgewerkt:
Inleiding
,
waarin r de afstand tot de oorsprong, 
de hoek met de positieve x-as en a en b
willekeurige constanten noemen we een logaritmische spiraal. Zie
figuur 1.
Let
op!
t
e0.2t
= e0.1t. Voor de hoek 
= 0.391781. Dit blijkt voor elke lijn door de oorsprong te
gelden. Dit is een bijzondere eigenschap van de
logaritmische spiraal. Om dit theoretisch aan te tonen hoeven
we alleen maar te bewijzen dat 
= 
= 
v(tA)
dt = 
)